Differential and Difference Equations

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

Department of Higher Mathematics

Course type:

Elective course

When:

2 year, 3 module

Instructor

Ivanov, Anatoly P.

Программа дисциплины

Аннотация

В результате освоения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» студент должен:  Знать основные понятия теории дифференциальных и разностных уравнений.  Уметь производить математические расчеты в стандартных постановках, давать содержательную интерпретацию результатов вычислений.  Иметь представление о сферах применения и возможностях теории дифференциальных и разностных уравнений.  Обладать навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, владеть методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

Цель освоения дисциплины

• • формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики; • знакомство с прикладными задачами дисциплины; • формирование умения решать типовые задачи дисциплины

Планируемые результаты обучения

• Решает дифференциальные уравнения первого и высших порядков, исследует решения на устойчивость
• Решает разностные уравнения, исследует решения на устойчивость

Содержание учебной дисциплины

• Дифференциальные уравнения
  Тема 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Фазовое пространство, поле фазовых скоростей и поле направлений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Решение дифференциального уравнения. Фазовая кривая. Интегральная кривая. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых для уравнения с одномерным фазовым пространством. Положения равновесия. Теорема о существовании, единственности и дифференцируемости по исходным данным решения обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши. Теоремы о существовании, единственности и дифференци¬руемой зависимости решений от начальных данных. Первые интегралы дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши. Классы дифференциальных уравнений и их характеристики. Уравнения с разделяющимися переменными. Первый интеграл. Однородные уравнения. Редукция однородного уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации. Уравнения Бернулли. Редукция уравнения Бернулли к линейному дифференциальному уравнению. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро. Простейшие экономико-математические методы, приводящие к дифференциальным уравнениям: динамическая мо¬дель рынка, модель Солоу экономического роста. Тема 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка Уравнения высших порядков, понижение порядка. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Структура множества решений. Фундаментальная система решений. Линейная зависи¬мость решений от начальных значений. Определитель Вронского. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура частного решения. Методы решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений, методы решений. Тема 3. Устойчивость дифференциальных уравнений и их систем Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных уравнений на плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло, центр. Основные определения теории устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки равновесия. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому приближению. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений по первому приближению. Критерий Рауса-Гурьвица.
• Разностные уравнения
  Тема 1. Разностные уравнения 1-го порядка Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Последовательность частных сумм числового ряда. Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Величина долга по займу с регулярными выплатами. Числа Фибоначчи. Паутинообразная модель рынка. Модель делового цикла (Самуэльсона -Хикса). Тема 2. Разностные уравнения n-го порядка Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Принцип суперпозиции. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффи-циентами. Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нели¬нейного уравнения x(t + 1) = V(x(t)) . Методы решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Элементы контроля

• Самостоятельная работа
• экзамен
  Экзамен в виде теста, тест письменный, состоит из 30 вопросов. Экзамен будет проходить в системе "Траектория" Продолжительность 70 минут.
• Контрольная работа

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.4 * Контрольная работа + 0.2 * Самостоятельная работа + 0.4 * экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Королев А. В. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 280с. - ISBN: 978-5-9916-9896-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/differencialnye-i-raznostnye-uravneniya-433869

Рекомендуемая дополнительная литература

• Аксенов А. П. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 241с. - ISBN: 978-5-9916-7420-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-1-434513