Mathematics

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

6

ECTS credits

Delivered at:

Department of Higher Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

1 year, 1, 2 module

Instructor

Loginova, Valeriia V.

Программа дисциплины

Аннотация

В результате освоения учебной дисциплины "Математика" студенты должны владеть следующими знаниями, умениями и навыками: Знать основы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, необходимые для решения экономических задач. Уметь применять методы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач. Иметь навыки применения современного математического инструментария для решения экономических задач, владеть методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов

Цель освоения дисциплины

• формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики;
• знакомство с прикладными задачами дисциплины;
• формирование умения решать типовые задачи дисциплины.

Планируемые результаты обучения

• Решает средствами линейной алгебры учебные и прикладные задачи
• Описывает аналитически геометрические объекты, определяет их взаимное расположение
• Решает средствами математического анализа учебные и прикладные задачи

Содержание учебной дисциплины

• Введение в линейную алгебру.
  Тема 1. Матричное исчисление. Основные определения. Виды матриц. Линейные операции над матрицами: сложение вычитание, умножение на действительное число. Свойства, арифметические операции над матрицами. Умножение матриц, свойства. Многочлены от матриц. Транспонированная матрица, свойства. Применение матричного исчисления к решению прикладных задач. Тема 2. Теория определителей. Определители второго и третьего порядков, свойства. Перестановки и подстановки, виды. Определители п-го порядка, свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу), методом приведения к треугольному виду, по теореме Лапласса. Ранг матрицы. Ранг матрицы, ранг ступенчатой матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Обратимость элементарных преобразований. Теоремы о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц. Обратная матрица. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Тема 3. Системы линейных уравнений Матричные уравнения. Основные определения. Решение систем линейных уравнений. Совместная и несовместная системы линейных уравнений. Определенные и неопределенные системы линейных уравнений. Равносильность (эквивалентность) системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Матрица и расширенная матрица системы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса. Решение системы линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение системы линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей (теореме Крамера) однородной системы линейных уравнений. Исследование и решение линейных систем. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных. Тема 4. Собственные векторы и собственные значения матрицы Характеристическое уравнение. Характеристические корни матриц. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Определения, примеры, способ нахождения. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями. Базис из собственных векторов линейного преобразования. Тема 5. Квадратичные формы Квадратичные формы, определение, примеры, виды. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределение квадратичной формы. Критерий Сильвестра для определения вида квадратичной формы.
• Аналитическая геометрия
  Тема 6. Векторная алгебра Направленные отрезки. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Свойства. Умножение вектора на действительное число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. Базис. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Линейная зависимость векторов. Теоремы, раскрывающие её геометрический смысл. Трёхмерное векторное пространство. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам ортонормированный базис. Координат вектора. Смешанное произведение векторов. Свойства. Длина вектора. Операции с векторами, заданными своими координатами. Угол между векторами. Векторное произведение векторов. Свойства. Смешанное произведение векторов. Свойства. Применение векторов к решению задач. Тема 7. Аналитическая геометрия. Аффинная и прямоугольная системы координат. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками. Формулы преобразования координат при переходе от явной системы координат к другой. Полярные координаты. Метод координат на плоскости и его применение. Уравнение прямой. Прямая линия. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Уравнения прямой с угловым коэффициентом и в отрезках. Плоскости и прямые в пространстве. Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух и трёх плоскостей. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Углы между прямыми; между прямой и плоскостью. Основные задачи на прямую и плоскость. Тема 8. Кривые второго порядка Кривые второго порядка, определение, виды. Окружность и его характеристики: центр, радиус. Эллипс и его характеристики: центр, вершины, фокусы, эксцентриситет. Гипербола и его характеристики: центр, вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты. Парабола и его характеристики: центр, вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты.
• Математический анализ
  Тема 9. Функции одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции: аналитический, логический, графический, табличный. Задача интерполяции. Неявно заданная функция. Функции заданные параметрически. Общие свойства функций: область определения, множество значений, четность, периодичность, нули функции, ограниченность, монотонность, наибольшее, наименьшее значение функции на множестве. Операции над функциями. Композиция функций: сумма (разность), произведение, частное двух функций. Суперпозиция двух функций, сложная функция. Понятие обратной функции. Основные свойства взаимно-обратных функций. Необходимое условие существования обратной функции. Классификация функций. Простейшие элементарные функции (графики, основные свойства). Элементарные функции: целые рациональные (линейная, квадратичная функции), дробно-рациональные (дробно-линейная функция), иррациональные, трансцендентные. Свойства и графики степенных функций. Функции в экономическом анализе. Тема 10. Предел функции и непрерывность функции. Предел функции. Правый, левый предел функции. Предел функции на бесконечности. Различные виды предельного перехода. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших. Ограниченные функции. Монотонные функции. Существование предела монотонной функции. Свойства функций, имеющих предел. Вычисление пределов: пределы основных элементарных функций, предел многочлена, рациональной дроби. Типы неопределенностей. Первый замечательный предел, его следствия. Второй замечательный предел, его следствия. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших в окрестности заданной точки. Функции одного порядка, функции высшего и низшего порядка малости и роста, эквивалентные бесконечно малые, главная часть функции, применение при вычислении пределов. Различные определения непрерывности функций в точке. Непрерывность справа (слева). Взаимосвязь понятий. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на множестве: теорема Больцано-Коши о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, следствие теоремы о прохождении через нуль при смене знаков, теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и достижении верхней и нижней грани. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции. Равномерная непрерывность функции. Связь с понятием непрерывности. Теорема Кантора.

Элементы контроля

• Самостоятельная работа
• Контрольная работа 1
• Контрольная работа 2
• Контрольная работа 3
• Контрольная работа 4
• Экзамен
  Экзаменационное тестирование проводится в системе контроля знаний "Траектория" http://trajectory.hse.perm.ru/

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.15 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Контрольная работа 2 + 0.15 * Контрольная работа 3 + 0.15 * Контрольная работа 4 + 0.1 * Самостоятельная работа + 0.3 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебник и практикум для вузов / Е. Г. Плотникова, А. П. Иванов, В. В. Логинова, А. В. Морозова ; под редакцией Е. Г. Плотниковой. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 340 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-01179-1. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт].

Рекомендуемая дополнительная литература

• Математика для гуманитариев [Электронный ресурс] : Учебник / Под общ. ред. д. э. н., проф., К. В. Балдина. - 3-е изд. - М.: Дашков и К, 2012. - 512 с. - ISBN 978-5-394-01910-4. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/411391