Topics in Mathematical Analysis

2018/2019

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

Department of Higher Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 1, 2 module

Instructors

Ivanov, Anatoly P.

Morozova, Alena V.

Программа дисциплины

Аннотация

В результате освоения дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» студент должен:знать основные понятия теории дифференциальных и разностных уравнений, уметь производить математические расчеты в стандартных постановках, давать содержательную интерпретацию результатов вычислений, иметь представление о сферах применения и возможностях теории дифференциальных и разностных уравнений, обладать навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, владеть методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

Цель освоения дисциплины

• приобретение студентами базовых знаний по математическому анализу;
• формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики;
• знакомство с прикладными задачами дисциплины;
• формирование умения решать типовые задачи дисциплины.

Планируемые результаты обучения

• Выполняет постановку и решение задач математического программирования
• Решает дифференциальные и разностные уравнения, исследует решения на устойчивость

Содержание учебной дисциплины

• Дифференциальные и разностные уравнения
  Тема 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Фазовое пространство, поле фазовых скоростей и поле направлений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Решение дифференциального уравнения. Фазовая кривая. Интегральная кривая. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых для уравнения с одномерным фазовым пространством. Положения равновесия. Теорема о существовании, единственности и дифференцируемости по исходным данным решения обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши. Теоремы о существовании, единственности и дифференцируемой зависимости решений от начальных данных. Первые интегралы дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши. Классы дифференциальных уравнений и их характеристики. Уравнения с разделяющимися переменными. Первый интеграл. Однородные уравнения. Редукция однородного уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации. Уравнения Бернулли. Редукция уравнения Бернулли к линейному дифференциальному уравнению. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро. Простейшие экономико-математические методы, приводящие к дифференциальным уравнениям: динамическая модель рынка, модель Солоу экономического роста. Тема 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка Уравнения высших порядков, понижение порядка. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Структура множества решений. Фундаментальная система решений. Линейная зависимость решений от начальных значений. Определитель Вронского. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура частного решения. Методы решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений, методы решений. Тема 3. Устойчивость дифференциальных уравнений и их систем Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных уравнений на плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло, центр. Основные определения теории устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки равновесия. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому приближению. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений по первому приближению. Критерий Рауса-Гурьвица. Тема 4. Разностные уравнения Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Последовательность частных сумм числового ряда. Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Величина долга по займу с регулярными выплатами. Числа Фибоначчи. Паутинообразная модель рынка. Модель делового цикла (Самуэльсона -Хикса). Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Принцип суперпозиции. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нелинейного уравнения x(t + 1) = V(x(t)) . Методы решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
• Задачи линейного и нелинейного программирования
  Тема 1. Задачи линейного программирования Постановка и формы записи задачи линейного программирования (ЛП). Примеры задач линейного программирования в экономике: задача о планировании объемов производства, задача о диете, задача о раскрое. Геометрическая интерпретация задачи ЛП и ее графическое решение. Симплекс-метод: схема метода и его обоснование. Допустимый базис в задаче ЛП. Экономическая интерпретация симплекс-таблицы. Тема 2. Задачи нелинейного программирования Общая постановка нелинейной задачи оптимизации. Классическая задача оптимизации. Задача оптимизации с переменными, ограниченными в знаке, и с ограничениями-неравенствами. Метод множителей Лагранжа для решения КЗО. Модификация метода Лагранжа для решения задачи с неравенствами и с переменными, ограниченными в знаке. Смысл и знак множителей Лагранжа. Седловые точки функции Лагранжа. Идея метода Куна-Таккера, его алгоритм и обоснование. Задача выпуклого программирования.

Элементы контроля

• Самостоятельная работа
• Контрольная работа 1
• Контрольная работа 2
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.2 * Самостоятельная работа + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Высшая математика : учебник / В.С. Шипачев. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 479 с. — (Высшее образование). — www.dx.doi.org/10.12737/5394. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/851522

Рекомендуемая дополнительная литература

• Методы оптимальных решений: Учебник / Мастяева И.Н., Горемыкина Г.И., Семенихина О.Н. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 384 с. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/944821