• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Дифференциальные и разностные уравнения

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
2-й курс, 1 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

В результате освоения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» студент должен:  Знать основные понятия теории дифференциальных и разностных уравнений.  Уметь производить математические расчеты в стандартных постановках, давать содержательную интерпретацию результатов вычислений.  Иметь представление о сферах применения и возможностях теории дифференциальных и разностных уравнений.  Обладать навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, владеть методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • • формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики; • знакомство с прикладными задачами дисциплины; • формирование умения решать типовые задачи дисциплины
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Распознавать задачи, сводящиеся к решению ДУ; проверять, что заданная функция является решением ДУ
  • Анализировать решения на устойчивость
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Дифференциальные уравнения
    Тема 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Фазовое пространство, поле фазовых скоростей и поле направлений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Решение дифференциального уравнения. Фазовая кривая. Интегральная кривая. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых для уравнения с одномерным фазовым пространством. Положения равновесия. Теорема о существовании, единственности и дифференцируемости по исходным данным решения обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши. Теоремы о существовании, единственности и дифференци¬руемой зависимости решений от начальных данных. Первые интегралы дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши. Классы дифференциальных уравнений и их характеристики. Уравнения с разделяющимися переменными. Первый интеграл. Однородные уравнения. Редукция однородного уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации. Уравнения Бернулли. Редукция уравнения Бернулли к линейному дифференциальному уравнению. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро. Простейшие экономико-математические методы, приводящие к дифференциальным уравнениям: динамическая мо¬дель рынка, модель Солоу экономического роста. Тема 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка Уравнения высших порядков, понижение порядка. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Структура множества решений. Фундаментальная система решений. Линейная зависи¬мость решений от начальных значений. Определитель Вронского. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура частного решения. Методы решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений, методы решений. Тема 3. Устойчивость дифференциальных уравнений и их систем Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных уравнений на плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло, центр. Основные определения теории устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки равновесия. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому приближению. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений по первому приближению. Критерий Рауса-Гурьвица.
  • Разностные уравнения
    Тема 1. Разностные уравнения 1-го порядка Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Последовательность частных сумм числового ряда. Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Величина долга по займу с регулярными выплатами. Числа Фибоначчи. Паутинообразная модель рынка. Модель делового цикла (Самуэльсона -Хикса). Тема 2. Разностные уравнения n-го порядка Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Принцип суперпозиции. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффи-циентами. Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нели¬нейного уравнения x(t + 1) = V(x(t)) . Методы решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • Самостоятельная работа (неблокирующий)
  • Контрольная работа (неблокирующий)
  • экзамен (неблокирующий)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.4 * Контрольная работа + 0.2 * Самостоятельная работа + 0.4 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Королев А. В.-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-280-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-9896-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/differencialnye-i-raznostnye-uravneniya-433869
  • Муратова Т. В.-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-435-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-01456-3: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/differencialnye-uravneniya-432105
  • Муратова Т. В.-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Учебник и практикум для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-435-Профессиональное образование-978-5-9916-8798-0: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/differencialnye-uravneniya-437402

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Аксенов А. П.-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-241-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-7420-1, 978-5-9916-7421-8: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-1-434513